Der technologische Windhauch
oder
das Ende des schnellen Wandels

Einleitung (Was ist der technologische Windhauch?)
Mögliche Sichtweise eines kommunistischen Erdenbürgers
Mögliche Sichtweise eines nichtkommunistischen Erdenbürgers
Eine mögliche Neuverteilung der Erdenbürger                                           Kurzgeschichte zum Thema
Die mögliche Verwandlung zum Universalbürger                                        
Eine mögliche Universalreligion oder wie lauten Gottes Gebote?

E=mc²
oder warum theoretisch etwa ein Liter Benzin genügt
um ein 100-Kilowatt-Auto 30 000 Jahre lang am Laufen zu halten

Gibt es etwas Ruhiges?                                                          (Bei den Animationen bitte das Fenster ganz öffnen)              
Ein seltsames Billardspiel                                                                              Animation zum Thema
Die Uhrenverschwörung(Lorentztranformation)                                             Animation zum Thema
Die Zugtoilettenfunktion(relativistische Geschwindigkeitsaddition)
Physikalische Grundlagen
E=mc²                                                                                                          Animation zum Thema                                                                                        

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Einleitung

Meine Theorie vom technologischen Windhauch beruht auf der Annahme, dass nichts ewig währt, auch nicht der technische Fortschritt, denn die Naturgesetze (z.B. E=mc², Energieerhaltungssatz…) werden dem wohl eines Tages ein Ende bereiten, oder ihn zumindest extrem verlangsamen.

Zur Veranschaulichung des technologischen Windhauchs wurde eine Gaußsche Glockenkurve gewählt. Der Mittelwert liegt beim Jahr 2000 und die Varianz beträgt 120 Jahre.

 

 

Übersetzt in die Sprache eines mathematischen Laien heißt dies: Jedes Pixel unter der Kurve soll eine technologische Neuerung darstellen und sollte diese Grafik tatsächlich die Realität wiedergeben, so geschehen 68 Prozent aller Erfindungen, welche die Menschheit bis jetzt gemacht hat und noch machen wird, zwischen 1880 und 2120.

Natürlich sind dies zum Teil willkürlich gewählte Zahlenwerte, allein schon aus dem einen Grunde, weil es schwierig sein dürfte, zu definieren, welche Erfindungen würdig wären, als Pixel in obige Grafik aufgenommen zu werden. Diese soll lediglich der optischen Veranschaulichung der Theorie dienen, denn ein kurzer visueller Eindruck bewirkt oft mehr als 1000 Worte.

Parallel dazu könnte man sich auch eine Tür vorstellen, welche offen steht. Ein Windhauch sorgt nun dafür, dass sie zuschlägt. Dieser Windstoß stellt dann eine extrem kurze Übergangsphase zwischen zwei stabileren Zuständen dar.

Dieser kurze Einschnitt in der Menschheitsgeschichte wird vielleicht noch deutlicher, wenn man sich die nächste Grafik betrachtet.

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               Mögliche Sichtweise eines kommunistischen Erdenbürgers

 

Ein Hauch fegt also die Macht der Könige und Fürsten hinweg. Und so wie der Herbstwind die Blätter vor sich hertreibt, bläst der technologische Windhauch die Kapitalisten herbei, nur um sie im nächsten Augenblick wieder weg zu pusten.

Da der letzte Satz vielleicht ein wenig zu poetisch klingt, muss er noch einmal anders formuliert werden.

Mit der Erfindung der Dampfmaschine schwindet die Macht der Feudalherren, weil nun diejenigen Personen, welche beispielsweise Dampfmaschinen und damit Produktionsmittel besitzen, an Macht und Einfluss gewinnen.

Und sollte die Menschheit den technologischen Windhauch tatsächlich überleben, so könnten sich für die Wirtschaft ganz neue Perspektiven auftun. Wenn man beispielsweise gelernt hat, Atome und Moleküle als Speichereinheiten zu benutzen, in der Computertechnologie also keine entscheidenden Fortschritte mehr zu erwarten sind, so ergeben sich Szenarien, welche für einen Menschen des 21.Jahrhunderts vollkommen unvorstellbar sind, zum Beispiel:

Ein Jugendlicher bekommt von seinen Grosseltern einen Computer geschenkt. Dieser hat zwar schon einige Jahrzehnte auf dem Buckel. Auch wurde er bereits mehrere Male an die Wand geworfen. Opa war eben ein sehr impulsiver Mensch und wenn ihn beispielsweise irgendein Artikel bei Wikipedia besonders ärgerte, dann konnte schon mal ein Computer durch die Gegend fliegen. Jedenfalls, der Enkel vererbt das Gerät wiederum an seinen Enkel…

Jedoch, spätestens hier an dieser Stelle drängt sich folgende Frage auf: Auch wenn dies technisch möglich sein sollte, welcher Unternehmer handelt derart geschäftsschädigend und stellt freiwillig solch robuste Ware her?

Nun, im 20.Jahrhundert kam man ja schon mal auf die Idee, dass der Staat Produktion und Verkauf von Gütern und Dienstleistungen übernehmen sollte. Tatsächlich wurde damals auch versucht, diese Idee in die Tat umzusetzen. Es stellte sich jedoch bald heraus, dass kommunistische Systeme nicht so gut mit dem technologischen Wandel zurecht kamen wie privatwirtschatlich organisierte Systeme und so wurde die kommunistische Idee erst mal für die nächsten Jahrhunderte auf Eis gelegt.

Den technologischen Wandel wird es aber in ein paar Jahrhunderten nicht mehr geben. Und wenn nun in der Bevölkerung mehr und mehr der Wunsch auftauchen sollte, Gebrauchsgegenstände zu erwerben, welche mehrere Generationen lang halten und die Unternehmer aus nahe liegenden Gründen diesen Wünschen nicht nachkommen möchten, ja dann muss ja wohl oder übel der Staat hier eingreifen. Und so könnte der Kommunismus in wenigen Jahrhunderten schon ein fröhliches Comeback feiern.

Für orthodoxe Marxisten, welche hier noch weiter lesen wollen, sei allerdings eine kleine Warnung angebracht. Wir leben nämlich noch im 21. Jahrhundert und Computer gehen im Allgemeinen kaputt, wenn man sie an die Wand schmeißt.

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              Mögliche Sichtweise eines nichtkommunistischen Erdenbürgers

 

Wie viele Menschen mag es wohl geben, welche gerne zur Ausbeuterklasse gehören möchten und aus diesem Grunde überhaupt kein Interesse daran haben, in einer kommunistischen Gesellschaft zu leben. Ja, vielleicht ist deren Identifikation mit den Ausbeutern so stark, dass sie lieber als Ausgebeuteter in einer kapitalistischen Gesellschaft leben möchten, als in einer gerechteren kommunistischen Gesellschaft.

Da haben wir also auf der einen Seite diejenigen Menschen, welche gerne ausgebeutet werden möchten, beziehungsweise selbst ausbeuten wollen und auf der anderen Seite jene, die damit nichts zu tun haben wollen. Sollen denn beide Gruppen von Menschen sich für immer und ewig unversöhnlich gegenüber stehen?

Die Antwort lautet: „Nicht unbedingt“, denn nach dem Ende des technologischen Windhauch könnten sich ganz neue politische Perspektiven ergeben, nämlich…

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                      Eine mögliche Neuverteilung der Erdenbürger

Wenn etwa im 24. Jahrhundert alle Völker der Erde gleichen ( also höchstmöglich entwickelten) technologischen Standard aufweisen,  welchen Bezug wird man dann wohl noch zur Kultur der Vorfahren haben? Was hat beispielsweise ein durchschnittlicher Mitteleuropäer des 21. Jahrhunderts noch mit den Sitten und Bräuchen seiner bäuerlichen Ahnen im 18.Jahrhundert zu schaffen?

Wenn also die kulturelle Identität verloren geht und man in einer Umgebung lebt, welche noch viel mehr von der Technik bestimmt wird, als ein Mensch des 21. Jahrhunderts sich auch nur ansatzweise vorstellen kann, wie mag sich das wohl auf das Denken der Menschen auswirken? Vielleicht hat dann, dank des Weltraumlift, ein Grossteil der Bevölkerung seinen Heimatplaneten schon mal aus großer Höhe als riesige Kugel erleben dürfen, was mit Sicherheit einen enormen Einfluss auf die Psyche der Menschen (genau wie bei heutigen Astronauten) und deren globales Denken hätte. Und vielleicht haben sich dann die Völker schon soweit vermischt, dass jegliche kulturelle Eigenständigkeit und somit vielleicht auch jeder Nationalismus verschwunden ist. Ja, vielleicht wird man eines Tages sogar feststellen können:

„Der Nationalismus kam mit dem technologischen Windhauch und ging mit ihm auch wieder.“

Wenn es also eines Tages nichts Trennendes mehr zwischen den Menschen gäbe, vielleicht würde man ja erkennen, dass es nun an der Zeit wäre, sich nicht mehr nach Völkern (man lebt dann eventuell sowieso in einer perfekt „durchrassten“ Gesellschaft) zu ordnen, sondern nach Interessensgemeinschaften, dass man beispielsweise Kommunisten und Nichtkommunisten die Möglichkeit gäbe, unter Ihresgleichen zu leben.

Ja, vielleicht werden sich die Parteien im zukünftigen Zentralparlament der Erde darauf einigen können, ihren Wählern bestimmte geografische Regionen zuzuweisen. Und die Anhänger dieser Parteien könnten sich beim nächsten anstehenden Umzug ja schon mal überlegen, ob sie dann nicht in eine jener Regionen ziehen wollten, welche für deren Wähler reserviert sind. Wenn nun genügend Menschen ihr „Wahlrecht mit den Füßen“ nutzen würden, so hätte dies durchaus Auswirkungen auf die regionalen Wahlergebnisse und damit der Zusammensetzung dieser Parlamente.

Ja und vielleicht könnte man nach einer kurzen Übergangsphase von ca. 100 bis 200 Jahren noch einen Schritt weiter gehen und die Zusammensetzung des irdischen Zentralparlaments nur mehr „mit den Füßen“ wählen zu lassen, wobei in den Regionalparlamenten allerdings nur noch  Abgeordnete einer Partei tagten. Dieses „Wahlrecht mit den Füßen“ gäbe dann endlich auch Anhängern von Splitterparteien die Möglichkeit, sich von der Partei regieren zu lassen, die man „gewählt“ hat. Dabei könnten sich beispielsweise folgende „Wahlergebnisse“ einstellen:


Provinzname

Einwohnerzahl

durchschnittlicher Zugang(Abgang) pro Jahr

Anteil an der Gesamtbevölkerung

Sitze im Zentralparlament von Terra

Pluralistische Provinz

814 195 299

-23 824

30,0%

300 Sitze

Marktwirtschaftlich orientierte Provinz

771 201 488

+14 653

28,4%

284 Sitze

Sozialdemokratische Provinz

742 017 469

+14 098

27,3%

273 Sitze

Kommunistische Provinz

155 852 566

+2 961

5,7%

57 Sitze

Autofreie Provinz

91 361 849

+1 736

3,4%

34 Sitze

Anarchistische Provinz

59 116 490

+1 123

2,2%

22 Sitze

Ökologisch landwirtschaftliche Provinz

49 592 675

+942

1,8%

18 Sitze

Feministische Provinz (Amazonenprovinz)

31 723 759

-17

1,2%

12 Sitze


Gesamtbevölkerung

2 715 061 595

+11 672

100,0%

1000 Sitze

Bevölkerungsrichtwert

3 000 000 000

 

 

 

Dass dabei die Abgeordneten des Zentralparlaments nur über globale Angelegenheiten (z.B. Regulierung des CO2 Gehalts in der Atmosphäre) beraten und die Weltregierung sich so wenig wie möglich in die Politik der einzelnen Provinzen einmischen, versteht sich ja wohl von selbst.
             
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Die mögliche Verwandlung zum Universalbürger

Nehmen wir mal an, wir wären nicht die einzigen intelligenten Wesen im Weltall. Dann könnte man folgende Definition einführen.

Ein Universalbürger ist ein Angehöriger einer Species, welche in der Lage ist, ihren Heimatplaneten zu verlassen. Und vielleicht müssen nicht nur Erdenmenschen, sondern auch alle anderen Universalbürger einen technologischen Windhauch überstehen, bevor sie dazu in der Lage sind. Das würde dann also heißen, dass unsere ach so schnelllebige Zeit einen vollkommen normalen Übergang darstellt, einen Vorgang also, wie er möglicherweise unzählige mal in den unendlichen Weiten des Weltalls geschieht

Einen technologischen Windhauch könnte man auch vergleichen mit der Verwandlung einer Raupe in einen Schmetterling, nur dass dabei nicht ein am Boden kriechendes Tier sich in ein Fluginsekt verwandelt, sondern eine ganze Species sich von den Schwerkraftfesseln ihres Heimatplaneten löst, um sich ungehindert im Weltraum bewegen zu können.

Eine wichtige Erfindung auf dem Weg zur Universalbürgerschaft könnte die künstliche Fotosynthese sein. Dann wäre man nämlich in der Lage, fast alles, was man zum Leben braucht, aus Wasser und Luft (genauer dem CO2 der Luft) herzustellen. Eine kleine Rechnung soll dies verdeutlichen.

800 Gramm Luft enthalten etwa 1 Gramm Kohlenstoff (im CO2 gebunden).
Über jedem Quadratmeter Erdboden befinden sich etwa 1000 Kilogramm Luft, also 1,25 Kilogramm Kohlenstoff. Multipliziert man diesen Wert mit der Erdoberfläche, so gelangt man zu der Erkenntnis, dass die Atmosphäre insgesamt etwa 6,4 * 1014 kg Kohlenstoff enthält. Teilt man den letzten Wert noch durch die Anzahl der Menschen (6,6 Mrd), so macht das knapp 100 Tonnen als Ergebnis. Soviel Kohlenstoff erhielte also jeder Mensch, wenn man ihn gleichmäßig unter die Erdbevölkerung verteilen würde.

Selbstverständlich müsste die Erdegierung dafür Sorge tragen, dass nur ein kleiner Prozentsatz des CO2  der Erdatmosphäre reduziert wird, anderenfalls würde man ja eine neue Eiszeit herbeiführen.

Die zugehörige Technik, diesen Kohlenstoff aus der Luft zu holen und zusammen mit Wasser und ein paar Bodenmineralien in allerlei Werkstoffe (z.B. Spinnenseide ist reißfester als Stahl) Brennstoffe (z.B. Biodiesel) und Nahrungsmittel zu verwandeln, wird ja von der Natur schon seit Jahrmillionen praktiziert.

Und da dieser Vorgang also offensichtlich den Naturgesetzen nicht widerspricht, ist die Annahme durchaus berechtigt, dass auch der Mensch diese Technik eines Tages beherrschen wird (und zwar ohne dabei die Natur in Anspruch zu nehmen). Vielleicht gelingt dies auch mit Hilfe einer anderen Energiequelle als dem Sonnenlicht (dann dürfte man diese Technik allerdings nicht mehr als Fotosynthese bezeichnen). Das würde bedeuten, dass der Mensch sich von der Natur vollkommen unabhängig machen könnte.

Man müsste also nicht mehr die Erde aufwühlen, um nach Bodenschätzen oder fossilen Brennstoffen zu suchen. Alles, was man bräuchte, könnte man aus Luft (CO2) und Wasser herstellen, vielleicht sogar die Nahrung. Und der Abfall landete nicht mehr auf der Müllkippe, sondern würde wieder in Luft (CO2) und Wasser zurück verwandelt werden und somit an die Natur zurückgegeben.

Wenn also der Mensch die Natur nicht mehr bräuchte, so könnte er sie vielleicht endlich in Ruhe lassen. Dann wäre es beispielsweise möglich, Millionen von Quadratkilometern an Ackerland  wieder verwildern lassen. Urwälder könnten sich ausbreiten, wie seit der Steinzeit nicht mehr, wenn der Mensch auch seine Nahrung komplett synthetisch in Fabriken herstellen würde. Ob nun allerdings unseren Nachfahren diese Idee auch wirklich schmecken wird, ist eine andere Frage.

Kaum auf künstliche Nahrung werden allerdings diejenigen verzichten können, welche auf Dauer ihren Heimatplaneten verlassen wollen. Sollte es tatsächlich soweit kommen, so würde man wohl zunächst auf riesigen Raumstationen mit künstlicher Schwerkraft wohnen. Diese glichen dann überdimensionalen Wäschetrommeln mit mehreren Kilometern Durchmesser, nur dass hier keine Wäschestücke auf 100 G sondern Menschen auf 1G geschleudert würden.

Um solch riesige Gebilde im All zu schaffen, bräuchte man vielleicht nur einen einzigen, mit künstlicher Intelligenz ausgestatteten Roboter auf den Mond zu bringen. Dieser hätte erst mal die Aufgabe, sich mit Hilfe von Mondmaterial so oft zu klonen, bis genügend viele seiner Kollegen da wären, um Fabrikanlagen zu errichten, worin Fertigbauteile für diese Raumstationen hergestellt würden. Zusätzlich müssten sie noch Magnetschwebebahnen bauen, um diese Teile in eine niedere Mondumlaufbahn zu schießen (ca. 6000 km/h wären dazu nötig). Andere künstliche Arbeiter würden diese Bauteile im Mondorbit aufsammeln, sie dort zu kompletten Raumstationen zusammensetzen und an ihren Bestimmungsort transportieren. Zu guter letzt müssten sie nur noch in Rotation versetzt und von Menschen bezogen werden. Bei so einer „Wäschetrommel“ mit 10 Kilometern Durchmesser beispielsweise wäre eine Umdrehung innerhalb von 2 Minuten und 22 Sekunden nötig, um exakt Erdenschwere zu erzeugen.

Im Laufe der kommenden Jahrmillionen könnte die künstliche Schwerkraft dann langsam auf 0 G reduziert werden, wenn es gelänge, die Universalbürger auch genetisch an die Schwerelosigkeit anzupassen.

Sollte es tatsächlich so weit kommen, dann hätte man sich, ausgehend vom Baumaffen mit vier Greifarmen, zum heutigen Bodenaffen mit zwei Armen und zwei Beinen, zum Weltraumaffen entwickelt, der dann vielleicht wieder vier Greifarme hätte. Schließlich braucht man ja keine Beine mehr, wenn man sein ganzes Leben in Schwerelosigkeit verbringt.

Dies gilt natürlich nicht für diejenigen Universalbürger (und das ist vielleicht die große Mehrheit), die sich in den Schwerkraftfesseln ihres Heimatplaneten weiterhin ganz wohl fühlen und mit beiden Beinen weiterhin fest auf ihrer Planetenoberfläche stehen wollen.

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    Eine mögliche Universalreligion oder wie lauten Gottes Gebote

Wenn man sich die irdischen „heiligen Bücher“ so durchsieht, so findet man darin keinerlei befriedigende Antwort auf die obige Frage. Zwar steht in all diesen Schriften, dass Töten wohl nicht so gut sei. Jedoch widersprechen sich diese „heiligen Bücher“, wenn es um Ausnahmeregelungen geht, wenn also das Töten erlaubt, oder gar wünschenswert ist. Wenn nun schon irdische „heilige Bücher“, sich so widersprechen, was mag dann wohl in „außerirdischen heiligen Büchern“ so alles stehen?
Einem denkenden Universalbürger, welcher das Bedürfnis hat, an ein höchstes Wesen zu glauben, mag dies unbefriedigend erscheinen. Aber wie findet man auf die in der Überschrift formulierte Frage eine befriedigende Antwort?

Nun. Die Lösung könnte im Glauben an einen Gott liegen, welcher nur gesetzgeberische Gewalt ausübt, die ausführende und richterliche Gewalt dagegen den Universalbürgern überlässt. Wenn beispielsweise eines seiner Gebote lautet: „Du sollst die Lichtgeschwindigkeit nicht übertreten“, so kann eben kein Universalbürger ein Raumschiff konstruieren, was schneller ist und deswegen braucht auch niemand wegen eines übertretenen Tempolimits in der Hölle zu schmoren. Und genau darin könnte Gottes Weisheit liegen, dass er nämlich Gesetze erlässt, die nicht übertretbar sind und er es daher nicht nötig hat, deren Einhaltung mit Hilfe von ausführender und richterlicher Gewalt zu überwachen. Schließlich hat Gott den Universalbürgern ein leistungsfähiges Gehirn gegeben. In Kombination mit der ausführenden Gewalt haben sie dadurch die Möglichkeit, ihre Umgebung in ein Paradies zu verwandeln. Und wenn sie das nicht tun, dann haben sie sich eben selbst gerichtet.

Doch jetzt zurück zur Frage: „Wie lauten Gottes Gebote“ und „wo sind sie verzeichnet“? Eine Species, welche ihren technologischen Windhauch überstanden hat, ist ja nicht nur in der Lage, alles technisch überhaupt Machbare auch zu verwirklichen. Um dazu in der Lage zu sein, müssen sie auch alle Naturgesetze, die es überhaupt gibt, also Gottes Gebote durch selbstständiges Nachdenken und Experimentieren herausgefunden haben. Und diese Naturgesetze stehen nun mal nicht in den so genannten „heiligen Büchern“,  sondern eher in Physikformelsammlungen. Und der Inhalt dieser Formelsammlungen muss, im Gegensatz zu den „heilgen Büchern“, auf allen Planeten der gleiche sein, unabhängig davon ob diese Universalbürger jemals miteinander  Kontakt haben werden oder nicht. Warum also sollten künftige Universalbürger nicht ihre Formelsammlungen zu „heiligen Büchern“ deklarieren. Vielleicht ist dies ja schon öfter in den unendlichen Weiten unseres Universums geschehen, als man denkt.

So, und zum Abschluss möchte ich noch näher auf eines von Gottes Geboten eingehen, nämlich E=mc². Um einem physikalischen Laien diese Formel kurz und knapp zu erklären, könnte man in etwa auch sagen: Gelänge es, einen Liter Benzin vollständig in Energie zu verwandeln, so könnte man damit ein 100-Kilowatt-Auto in etwa 30 000 Jahre lang ohne Unterbrechung betreiben. Auch das ist ein Gebot, welches dem Fortschrittsdrang der Universalbürger eine Tages Einhalt gebieten wird. Vielleicht ist ja auch schon bei der Kernfusion die Grenze erreicht. Mit Hilfe des künstlichen Sonnenfeuers lässt sich nämlich nur etwa ein Hundertstel der Energie in Masse umwandeln.

Das Faszinierende an dieser Formel ist nun, dass es dazu gar keiner realen physikalischen Experimente bedurfte, um dahinter zu kommen. Albert Einstein gelang dies im Jahre 1905 durch reine Gedankenexperimente. Und zur Durchführung dieser Gedankenexperimente reichen die Mathe und Physikkenntnisse eines Realschülers vollkommen aus.
Auch ich selbst habe die Schule kurz nach der mittleren Reife abgebrochen, mir allerdings grundlegende Mathe und Physikkenntnisse bis ins hohe Erwachsenenalter bewahrt. Und so beschloss ich eines Tages, eigene individuelle Gedankenexperimente auf der Suche nach E=mc² anzustellen. Und ich habe sie tatsächlich ohne jede fremde Hilfe gefunden, diese magische Formel! Sämtliche Gedankenexperimente und Ableitungen welche du nun auf den folgenden Seiten vorfinden wirst, habe ich also nicht etwa in irgendwelchen schlauen Büchern nachgeschlagen, sondern mir durch eigenes Nachdenken selbstständig erarbeitet, so wie Albert Einstein dies in seinem Wunderjahr 1905 getan hat.

Wenn du mir nun auf dieser physikalische Entdeckungsreise noch folgen willst, so kannst du dies tun, auch wenn du mit Mathematik überhaupt nichts anfangen kannst. Lass dann das kursiv Gedruckte einfach aus. Im normal gedruckten Text hab ich nämlich versucht, die Mathematik in Prosa zu übersetzen, so gut es eben geht.

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                              Gibt es etwas Ruhiges?

Was ist eigentlich ein Ruhezustand? Na ja, vielleicht denkst du jetzt, dass du momentan ganz ruhig dasitzt, während du diese Zeilen liest. Da hast du dich aber getäuscht, denn die Erde dreht sich um die eigene Achse und du drehst dich zwangsläufig mit. Und wenn du nun entgegnest, die Erdachse befände sich wenigstens im Ruhezustand, so bedenke, dass die Erde ja ständig die Sonne umkreist. Und auch unsere Sonne zieht mit allen anderen Sternen unserer Heimatgalaxie um deren Zentrum. Auch die meisten Galaxien scheinen sich von uns weg zu bewegen, was den Schluss nahe legt, dass auch unsere eigene Galaxie sich kreuz und quer durchs All bewegt. Kann man da wirklich behaupten, dass irgendetwas ruhig sei?

Nun gut, im 19. Jahrhundert hat man so etwas tatsächlich noch geglaubt. Und zwar dachte man, dass der ganze Weltraum mit einem gar seltsamen Medium erfüllt sei, nämlich dem ruhigen Äther. Das sollte etwas sein, was die Lichtwellen weiter leitet, ähnlich wie die Luft den Schall trägt. Doch spätestens im frühen 20. Jahrhundert ließ sich die Theorie eines absolut ruhigen Äthers nicht mehr halten. Man musste sich schließlich mit der etwas irritierenden Vorstellung abfinden, dass es im gesamten Weltall wohl nichts gäbe, von dem man behaupten könnte, es wäre absolut ruhig.

Doch es kommt noch seltsamer! Viele Beobachtungsdaten, welche man schon teilweise im 19. Jahrhundert gemacht hatte, ließen darauf schließen, dass es zwar keine absolute Geschwindigkeit 0 gäbe, wohl aber die Lichtgeschwindigkeit immer konstant wäre. Wie ist denn nun das zu verstehen?

Nun, nehmen wir mal an, wir fahren in einem 100 km/h schnellen Zug und gehen mit 5 km/h aufs Klo, welches in Fahrtrichtung liegt. Welche Geschwindigkeit hätten wir dann gegenüber dem Erdboden? Ja genau, das wären dann 105 km/h. Wenn aber die Beleuchtung ausfiele, und wir uns mit der Taschenlampe vortasten müssten, hätte der Lichtstrahl gegenüber dem Erdboden dann Lichtgeschwindigkeit + 105 km/h?

Die Antwort lautet nein, denn man hat unter anderem auch folgende Beobachtung gemacht! Das Weltall expandiert ja bekanntlich und fast alle Galaxien bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten von uns weg. Da müsste doch auch das Licht mit verschiedenen Geschwindigkeiten zu uns gelangen! Doch das ist keineswegs der Fall. Das Licht hat immer dieselbe Geschwindigkeit, ganz egal woher es auch kommt. Auch der Bewegungszustand irgendeines Beobachters hat keinerlei Einfluss auf die Geschwindigkeit des Lichtes. Wie ist nun so was möglich? Sind vielleicht Raum und Zeit für dieses merkwürdige Verhalten verantwortlich? Genau das wollen wir in den folgenden Gedankenexperimenten untersuchen.

Dazu überlegen wir uns Folgendes: Nehmen wir mal an, es gäbe eine „Diktatur der Lichtgeschwindigkeit“ und Raum und Zeit müssten sich diesem Diktat unterwerfen. Oder anders gefragt: Wie müssten sich Raum und Zeit verhalten, damit in allen Bezugssystemen dieselbe Lichtgeschwindigkeit gemessen werden kann?

Also, das Licht legt ja bekanntlich etwa 300 000 Kilometer in der Sekunde zurück. Diese Zahl gefällt uns aber nicht und so führen wir eben eine neue Einheit ein. Eine Einheit sind dann 300 000 Kilometer und die Lichtgeschwindigkeit beträgt dann 1 Einheit pro Sekunde.

Das heißt aber auch, dass wenn sich das Licht um eine Einheit weiter bewegt hat, dann eine Sekunde vergangen sein muss.

So und nun versetzen wir uns in Gedanken weit, weit weg, irgendwo in den fast leeren Raum zwischen den Galaxien, wo es weder Sterne noch Planeten gibt und folglich keinerlei Materie den schwerelosen Flug unserer seltsamen Gebilde stört, welche wir uns nun in unserer Fantasie ausdenken. Klar, die Gedankenexperimente, welche wir nun anstellen werden, mögen auf den ersten Blick ein wenig weltfremd erscheinen und doch waren es ähnliche Überlegungen, welche Albert Einstein in seinem Wunderjahr 1905 durchführte und auf rein logisch, mathematische Weise zur Formel E=mc² führten; einer Formel also, welche Experimentalphysiker erst Jahrzehnte später in vollem Umfang bestätigen konnten. Und genau deswegen spielen wir jetzt in Gedanken ein wenig Billard!

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                                           Ein seltsames Billardspiel

Unser Billardtisch sei also 2,4 Einheiten( 56 Erddurchmesser) lang und 0,9 Einheiten(21 Erddurchmesser) breit. Auch der Queue(Billardstock) hat eine Länge von 0,9 Einheiten. In der nun folgenden Abbildung habe ich allerdings auf die Darstellung der beiden Querbanden wegen der besseren Übersichtlichkeit verzichtet, weil sie bei unserem Gedankenexperiment sowieso keine Rolle spielen.

Normalerweise ist es ja so, dass man den Queue (Billardstock) dazu benutzt, um die Kugel zu stoßen, aber wir spielen dieses Spiel ein wenig anders! Zunächst einmal platzieren wir die Kugel im Punkt A. Zugleich legen wir einen Queue mit eingebauter Uhr dazu, so dass er quer über den Tisch zu liegen kommt(1.Bild von Abb 1). Dann setzen wir beide Objekte so geschickt in Bewegung, dass sie sich nachher wieder im Punkt B an der unteren Bande treffen (3.Bild), wobei sich Kugel und Queue während des ganzen Vorgangs immer auf gleicher Höhe befinden sollen und die Kugel einen Umweg über den Punkt M (2.Bild) nehmen soll. Weiterhin nehmen wir an, die ganze Reise von A nach B solle eine Stunde dauern, dann hat dies, zumindest aufgrund unserer Alltagserfahrung, der Queue mit einer Geschwindigkeit von 2,4 Einheiten/h geschafft. Die Kugel, da sie ja einen Umweg über M nehmen musste, war mit 3,0 Einheiten/h unterwegs. Eine Ameise, die sich auf  dem Queue aufhielt, wähnte ihren eigenen Zustand als ruhend und registrierte, wie der Billardtisch mit 2,4 Einheiten/h nach links vom Queue wegdriftete. Die Kugel legte aus ihrer Perspektive entlang des Queue von unten(A) nach oben und wieder zurück nach unten(B) insgesamt 1,8 Einheiten zurück, macht also 1,8 Einheiten/h.

 

 

So, und jetzt wollen wir ein wenig aufs Tempo drücken und fordern, dass die Kugel die Reise in 3 Sekunden schafft!

(siehe auch Animation)  (auf "t = 0" klicken und dann rechts oben immer wieder auf "Weiter")

Das geht allerdings nur, wenn es sich um ein Photon(Lichtteilchen) handelt. Denn wie ich oben schon erwähnt habe, bewegt sich das Licht grundsätzlich immer mit einer Einheit  pro Sekunde weiter, und zwar vollkommen unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters! Der Queue muss sich in diesem Falle mit 80-prozentiger Lichtgeschwindigkeit bewegen, um immer die gleiche Höhe mit dem Photon zu halten.

Und hier stoßen wir schon mal auf unser erstes Paradoxon(siehe 3.Bild). Denn wenn das Photon für einen Tischbewohner 3 Einheiten in 3 Sekunden schafft, muss es für einen Queuebewohner auf seinem Weg von A nach B 1,8 Einheiten in 1,8 Sekunden geschafft haben, nur so können beide Beobachter ein und dieselbe Lichtgeschwindigkeit registrieren! Haben also Tisch und Queue im Punkt A (1. Bild) ihre Uhren gerade noch synchronisiert, so geht die Queueuhr im Punkt B (3. Bild) gegenüber den Tischuhren deutlich nach.

Diese unterschiedlichen Zeiten kommen nun nicht etwa deswegen zustande, weil mit minderwertigen Uhren gearbeitet wird. Nein, auch die exaktesten Uhren sind nur Sklaven der Zeit, während die Zeit sich wiederum bedingungslos dem Diktat der Lichtgeschwindigkeit unterwerfen muss! Und wenn du mich fragst, wer letztendlich die Diktatur der Lichtgeschwindigkeit im Universum eingeführt hat, vielleicht könnte man hier ja versucht sein, den lieben Gott ins Spiel zu bringen. Aber das werden wir unterlassen. Wir beschäftigen uns nämlich hier ausschließlich mit Mathematik und Physik und das Feld der Theologie überlassen wir Anderen!

Kommen wir also wieder zu unserem Thema zurück. In obiger Skizze konnte man zwar ganz gut auf grafischem Wege nachvollziehen, wie eine Queueuhr bei 80-prozentiger Lichtgeschwindigkeit ticken muss. Nun wollen wir allerdings ganz allgemein wissen, wie sich die Zeit bei jeder anderen x-beliebigen Geschwindigkeit verhält und dafür ist ein wenig Mathematik nötig. Und wie gesagt, wenn du Mathephobiker sein solltest, kannst du die folgenden Umformungen ruhig überspringen.

v=Queuegeschwindigkeit c=Lichtgeschwindigkeit t=Linealzeit(Billardtischzeit)
 t’=Queuezeit
Wir nehmen uns einen „Taktschlag“ (Weg von einer Bande zur Anderen) vor und finden:
(Queueweg)² + (Lichtweg auf Queue)² = (Lichtweg auf Tisch)²
    (t * v)²      +            (t’ * c)²             =             (t * c)²
     t² * v²      +              t’² * c²             =             t² * c²
                                     t’² * c²             =             t² * c² - t² * v²   (gekürzt durch c²)
                                     t’²                    =             t²        - t² *v²/c²
                                     t’²                    =             t²  (1- v²/c²)
t’ = t *  √(1 – (v/c)²)
Auf dem Queue vergeht also pro „Taktschlag“ weniger Zeit als auf dem Lineal.

Wir sind nun zu folgender Erkenntnis gelangt: Man nehme eine beliebige Geschwindigkeit. Um also gleich mal bei unserem obigen Beispiel zu bleiben, tippen wir für die 80-prozentige Lichtgeschwindigkeit unseres Queue einfach die Zahl der Einheiten ein, welche unser Queue pro Sekunde zurücklegt. Das wären also dann 0,8. Nach Betätigung der [x²]-Taste erhalten wir 0,64. Davor setzen wir ein Minus und addieren 1. Es erscheint nun 0,36 im Display. Wir drücken nun die Wurzel-Taste und als Endergebnis erhalten wir 0,6. Diesen letzen Wert mit der Tischzeit multipliziert ergibt schließlich die Queuezeit. Wir wollen diesen Wert nun Wurzelfaktor nennen.

Bei sehr kleinen Geschwindigkeiten wird der Wurzelfaktor übrigens nahezu 1. Das heißt mit anderen Worten, dass wir bei unseren alltäglichen Schneckentempi nichts von den hier beschriebenen Effekten merken! Wenn du nun ein kluges Mädchen (schlaues Kerlchen) bist, dann könnten dir vielleicht einige weitere Ungereimtheiten auffallen, die wir jedoch gleich aufklären werden.

Beispielsweise zieht die Strecke AB (4.Bild) innerhalb von 1,8 Sekunden Eigenzeit am Queue vorbei. Das wären ja 2,4 Einheiten in 1,8 Sekunden, also Überlichtgeschwindigkeit und das kann ja wohl nicht wahr sein! Denn wenn ein Tischbewohner 80-prozentige Lichtgeschwindigkeit beim Queue feststellt, so muss auch für einen  Queuebewohner, sofern er seinen eigenen Zustand als ruhend empfindet, der Tisch mit derselben Geschwindigkeit nach links driften.

Und deshalb müssen wir eine weitere Forderung erheben! Wir lassen diese 2,4 Tischeinheiten aus Sicht des Queue ganz einfach auf 1,44 Einheiten (siehe 4.Bild) zusammenschrumpfen und schon passt die Sache wieder. Dann ziehen nämlich 1,44 Einheiten (=2,4 geschrumpfte Einheiten) innerhalb von 1,8 Sekunden am Queue vorbei, womit die Welt wieder in Ordnung wäre, weil sich dann auch aus Sicht des Queue 80-prozentige Lichtgeschwindigkeit des Tisches errechnet.

zur Animation (auf "t' = 0" klicken und dann rechts oben immer wieder auf "Weiter")

Wir definieren erst einmal:
t = Tischzeit 
t' = Queuezeit
X = Strecke AB von Tisch aus gesehen (v = X/t)
   
x  =  Strecke AB von Queue aus gesehen (Kleinbuchstabe deswegen, weil diese Strecke ja vom Queue aus gesehen kleiner erscheinen muss)  (v = x/t')
Nun wollen wir den Begriff der scheinbaren Geschwindigkeit vs einführen, welche angeben soll, wie viele Einheiten des Tisches in der Eigenzeit t’ des Queue vorbeiziehen.
vs = X / t’ = X  / { t *  √[1 – (v/c)²]}  → vs =  v  /  √[1 – (v/c)²]
Da der Wurzelfaktor im Nenner der letzten Formel kleiner als 1 ist, so gilt hier automatisch:
vs > v           Weiterhin gilt:
v = x/t’ = x /  { t *  √[1 – (v/c)²]}   und
v = X / t      Beide Gleichungen kombiniert in dem man v eliminiert und t herauskürzt.
x /   √[1 – (v/c)²] =  X     →   x = X *  √[1 – (v/c)²]

Wir haben in obiger Ableitung erst einmal die „scheinbare Geschwindigkeit“ eingeführt, welche uns angibt, wie viele geschrumpfte Tischeinheiten pro Sekunde für einen Queuebewohner vorbei ziehen. Diese Größe dient allerdings im folgenden Text nur als Hilfsvariable für eine weitere mathematische Ableitung. Wenn du also den mathematischen Teil sowieso überfliegen willst, kannst du diesen Begriff gleich wieder vergessen! Wenn wir nun wissen wollen, um welchen Betrag so ein vorbeiziehendes Lineal geschrumpft erscheint, das haben wir nämlich in obiger Ableitung nachgewiesen, so können wir auch hier wieder denselben Wurzelfaktor wie bei der Zeit verwenden.

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          Die Uhrenverschwörung(Lorentztranformation)

Nun entfernen wir den Queue und lassen zwei Lineale mit 80-prozentiger Lichtgeschwindigkeit auseinander driften. Aufgrund unserer bisherigen Erkenntnisse dürfte dann wohl klar sein, wie ein Bewohner des unteren Lineals sein Gegenüber registriert.(Abb 2)


Und wegen der Gleichberechtigung der Bezugssysteme muss sich auch einem Beobachter auf dem oberen Lineal ein ähnlicher Anblick bieten(Bitte Blatt wenden).

Du erkennst vielleicht, dass hier nicht wirklich irgendetwas schrumpft, sondern es nur so aussieht. Den eigenen Zustand empfindet man ja durchaus als ruhend und „normal“. „Normal“ ist jedoch nicht, wenn irgend so ein Riesenlineal mit 80-prozentiger Lichtgeschwindigkeit an Einem vorbei rauscht und so sieht man eben Raum und Zeit bei seinem Gegenüber „spinnen“. Und dass auch die Zeit hier außer Rand und Band gerät, dürfte ja wohl auch leicht erkennbar sein, wenn man nämlich sein Heimatlineal als Billardtisch und die gegenüberliegenden Markierungen als Queues interpretiert, deren eingebauten Uhren langsamer ticken müssen, als die heimatlichen Linealuhren! Und das bringt nun ein weiteres Paradoxon mit sich. Denn wenn die fremden Uhren langsamer gehen als die Eigenen, so muss das aus Gründen der Gleichberechtigung umgekehrt genauso sein. Doch wie kann die eine Uhr langsamer gehen als die Andere und zugleich die Andere langsamer als die Eine?

Okay, das was ich hier versuche zu erklären, ist Bestandteil der speziellen Relativitätstheorie. Und die behandelt ganz speziell nur solche Uhren, welche sich im schwerelosen Zustand befinden. Wenn die sich also begegnen, so tun sie dies kein zweites Mal, sondern driften dann für immer und ewig auseinander. Begegnen könnten unsere Uhren sich höchstens dann noch einmal, wenn man mindestens eine von Beiden wieder abbremste und in die Gegenrichtung beschleunigte. Wenn man nun so was mit Uhren tut, sind sie ja nicht mehr schwerelos und somit kein Fall mehr für die spezielle sondern für die allgemeine Relativitätstheorie, welche von Albert Einstein erst im Jahre 1915 vollendet wurde. Unsere speziellen Uhren werden also kein zweites Mal Gelegenheit haben zu ermitteln, wie viel Zeit seit ihrer ersten Begegnung vergangen ist. Doch vielleicht lassen sich die letzten Zweifel zerstreuen, wenn wir erst mal weiter machen.

Wir stellen uns also vor, sämtliche Linealmarkierungen wären Queues mit Uhren. Und ein klein wenig möchte ich vorgreifen. Das raffinierte Zusammenspiel der gegenüberliegenden Queues, einerseits durch ihre schrumpfenden Abstände, andererseits durch ihre anders tickenden Uhren, sorgt letztendlich für die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Doch vorerst treffen wir mal folgende Vereinbarung. Die Orte (Queues) auf dem unteren Lineal bezeichnen wir mit x und die Orte des oberen Lineals mit x’(sprich x Strich). Die Zeiten (symbolisiert durch eine Zahl innerhalb eines Kreises) werden unten mit t und oben mit t’ bezeichnet. Und sobald sich beide Nullmarkierungen gegenüberliegen, sollen auch deren zugehörige Queueuhren auf Null gestellt werden, sowie in den beiden letzen Abbildungen.

So, und nun werfen wir einen Blick auf Abb. 4 und überlegen uns, wie wohl die Welt zum Zeitpunkt t=3 für einen unteren Beobachter aussehen mag! Voila…

 

Du bist also unten zuhause und die eigene Welt erscheint „normal“. Alle Heimatuhren zeigen die Zeit 3,0 an. Das obere Lineal hat sich 2,4 Einheiten weiter bewegt und es erscheint natürlich verkürzt. Bei der oberen Queueuhr mit der Markierung 0 sind nur 1,8 Sekunden vergangen (genau wie bei Billardtisch in Abb. 1).

Die untere Null hab ich übrigens mal sowohl in Abb. 4 als auch in Abb. 5 mit zwei Ausrufezeichen versehen und das mit gutem Grund. Denn, so wollen wir uns fragen…

 

 

…ist nicht auch die untere Null eine Uhr, welche am oberen Lineal entlang gleitet und deswegen für einen dortigen Beobachter um den Wurzelfaktor verlangsamt ticken muss(hier Blatt wenden und Abb. 5 anschauen)…  

 

 

…und muss man nicht, wenn man bei der unteren Null steht (kurz bei Abb. 5 verweilen und dann zu Abb.4 zurückschwenken), bei der gegenüberliegenden Uhr dann etwa nicht 5,0 Sekunden ablesen…

 

 

Wenn man nun die letzten beiden isolierten Sätze bejaht, wobei wir wieder Abb. 4 uns vornehmen,  so eröffnet sich uns ein weiteres Paradoxon. Denn obwohl für Beobachter, welche auf einem Lineal ruhen, die eigenen Uhren alle gleich laufen, registrieren sie beim gegenüberliegenden Lineal so eine Art Zeitgefälle. Und vielleicht wäre es ratsam, zunächst einmal gar nicht so viel über dieses Phänomen nachzudenken, denn dessen tieferer Sinn wird sich uns im nächsten Gedankenexperiment wesentlich anschaulicher offenbaren. Allerdings könntest du eventuell schon mal die Zeiten in den mit Fragezeichen versehenen Uhren (Abb.4) so ergänzen, dass sich ein gleichmäßiges Zeitgefälle ergibt. Die Auflösung gibt es dann in Abb. 7.


Jetzt testen wir mal, wie es um die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bestellt ist. Dazu schicken wir zwei Photonen auf die Reise(Abb.6).  Zum Zeitpunkt t=0  t’=0 und am Ort x=0   x’=0 sollen sie starten,

wobei das linke Photon seine Reise zum Zeitpunkt t=3, am Ort x=-3 und das rechte Photon zum Zeitpunkt t=3 am Ort x=3 beenden soll(Abb 7).Wir werden also im unteren Lineal nach 3 Sekunden zwei gleichzeitige Ereignisse registrieren und nun fragen wir uns, welche Zeiten und Orte werden wohl oben gemessen werden?

Hast du übrigens die kleine Rätselaufgabe von oben erfolgreich gelöst und siehst du nun den Sinn dieses komischen Zeitgefälles? Dann schau dir doch mal sowohl die äußerst rechte als auch die äußerst linke obere Uhr an, dann erschließt dir sich wiederum eine frappierend paradoxe Erkenntnis, nämlich die, dass das linke Photon die 9 Einheiten zum linken Bildrand in 9 Sekunden und das rechte Photon die eine Einheit zum rechten Bildrand in einer Sekunde geschafft hat. Unten dagegen waren jeweils ein und dasselbe Photon 3 Sekunden lang zum linken und 3 Sekunden rechten Rand  unterwegs. Zusätzlich lässt sich auch feststellen, dass zwei Ereignisse, welche unten gleichzeitig geschehen, oben sich mit 8 Sekunden Zeitunterschied ereignen. Und das alles geschieht nur, damit die Lichtgeschwindigkeit auf beiden Linealen die Gleiche ist, nämlich eine Einheit pro Sekunde! Ja fast könnte man meinen, dass sämtliche Uhren unserer Lineale sich untereinander verschworen haben, sowohl ihre Abstände voneinander, als auch ihre Uhrzeiten so aufeinander abzustimmen, dass jeder Beobachter ein und dieselbe Lichtgeschwindigkeit registrieren kann. Und genau deshalb werden wir dieses Phänomen in Zukunft als „Uhrenverschwörung“ bezeichnen.

Zu diesem Phänomen habe ich übrigens auch eine kleine Animation erstellt. (auf "t = 0" klicken und dann rechts oben immer wieder auf "Weiter")

Der Vollständigkeit halber sollte ich allerdings noch erwähnen, dass in beiden Systemen zwar dieselbe Lichtgeschwindigkeit gemessen wird, jedoch wegen des Welle-Teilchen-Dualismus im oberen Lineal bei dem einen Photon eine größere und beim Anderen eine kleinere Wellenlänge registriert wird, als unten. Astronomen können dieses Phänomen auch dazu benutzen, um die Fluchtgeschwindigkeit ferner Galaxien zu berechnen (mehr zum Thema).

Die hier beschriebenen Phänomene schreien nun förmlich nach einer korrekten mathematischen Ableitung:

Wenn die Nullen gegenüberliegen und das gegenüberliegende Lineal gegenüber dem Eigenen bei der Geschwindigkeit v immer geschrumpft erscheint, können wir schreiben:
I   x’ = x   /  √[1 – (v/c)²]      (siehe Abb. 2 oder Animation (t=0)  )
II  x  = x’  /  √[1 – (v/c)²]      (siehe Abb. 3 oder Animation (t'=0) )
Blickt man nun von unten nach oben (Abb. 2) und hat sich das obere Lineal in der Zeit t um den Betrag t*v weiter bewegt, so heißt dies aber auch, dass sich die Koordinaten des oberen Lineals mit der scheinbaren Geschwindigkeit um den Betrag t*vs = t * v √[1 – (v/c)²]
vermindert haben, also
I    x’ = (x  -  t * v)  /  √[1 – (v/c)²]    (siehe Abb. 2 oder Animation ab (t=0)  )
→   I    x = x’ * √[1 – (v/c)²] +  t * v
Wenn wir nun das Blatt wenden(Abb 3) und mit Hilfe von x’ und t’  das gegenüberliegende x ermitteln wollen, können wir analog zu I eine ähnliche Formel ermitteln: 
II   x = (x’  +  t’ * v)  /  √[1 – (v/c)²]  (siehe Abb. 3 oder Animation ab (t'=0) )
→   II   x’ =  x * √[1 – (v/c)²] –  t’ * v
Wir eliminieren x’ mit Hilfe von  I und II und erhalten
(x  -  t * v)  /  √[1 – (v/c)²] = x * √[1 – (v/c)²] –  t’ * v
t’ * v  = x * √[1 – (v/c)²]  - (x  -  t * v)  /  √[1 – (v/c)²]
t’ * v  = x * [1 – (v/c)²]  /  √[1 – (v/c)²]  - (x  -  t * v)  /  √[1 – (v/c)²]
t’ *v  = [x – x * (v/c)² - x + t * v]  / √[1 – (v/c)²]
III      t’ = (t – x * v/c² )  / √[1 – (v/c)²]
Wir eliminieren x mit Hilfe von  I und II und erhalten
x’ * √[1 – (v/c)²] +  t * v = (x’  +  t’ * v)  /  √[1 – (v/c)²]
t * v = (x’  +  t’ * v)  /  √[1 – (v/c)²] –  x’ * [1 – (v/c)²] / √[1 – (v/c)²]
t * v = [x’ + t’ *v – x’ + x’ * (v/c)²]   /  √[1 – (v/c)²]
IV      t = (t’ + x’ * v/c²) / √[1 – (v/c)²]
Wir fassen noch einmal zusammen:

I          x’ =    (x  -  t * v)  /  √[1 – (v/c)²]
II        x  = (x’  +  t’ * v)  /  √[1 – (v/c)²]
III      t’ =  (t – x * v/c² )   / √[1 – (v/c)²]
IV      t =  (t’ + x’ * v/c²)  / √[1 – (v/c)²]

Das oben gezeigte haben wir uns also zunächst auf graphischem Wege veranschaulicht. Doch das Ganze kann man sich natürlich auch auf rein algebraischem Wege errechnen und zwar mit Hilfe von 4 Transformationsformeln, welche oben im mathematischen Teil mit den römischen Ziffern von I bis IV gekennzeichnet sind. Diese kannst du dir auch als Zauberkästen vorstellen, bei denen du auf der rechten Seite Ort und Zeit des einen Lineals rein schiebst und links Ort beziehungsweise Zeit des gegenüberliegenden Lineals heraus bekommst.

Diese Formeln werden übrigens auch Lorentztransformation genannt. Hendrik Lorentz war nämlich ein holländischer Physiker, welcher sich schon ein paar Jahre vor Einstein Gedanken zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gemacht hat und dann auf diese 4 Formeln gestoßen ist. Allerdings machte er einen gravierenden Fehler. Er ging noch von der Existenz eines absolut ruhenden Äthers aus und meinte, dass Lineale, welche fest mit diesem verbunden wären, das Vorrecht hätten, die einzig wahre Zeit und die einzig wahren Maßstäbe zu besitzen. Erst Albert Einstein beseitigte im Jahre 1905 dieses Vorurteil, indem er seine spezielle Relativitätstheorie auf der Annahme aufbaute, dass es nur gleichberechtigte Bezugssysteme gäbe.

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Die Zugtoilettenfunktion(relativistische Geschwindigkeitsaddition)

So, nun wollen wir aber mit Hilfe der Lorentztransformation herausfinden, ob die „Uhrenverschwörung“ außer der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit noch andere Nebenwirkungen aufzuweisen hat und stellen uns die Frage, was denn passiert, wenn wir in einem fahrenden Zug aufs Klo gehen. Zu diesem Zwecke wollen wir erst einmal unseren Linealen andere Namen geben. Das untere Lineal sei dann eine Schiene und das obere Lineal ein Zug.

Aus den letzten Gedankenexperimenten lässt sich ja durchaus folgern, dass wenn ein Lichtstrahl im Zug aufs Klo geht, dann auch auf der Schiene Lichtgeschwindigkeit registriert wird, man also keinesfalls Zug und Lichtgeschwindigkeit einfach so addieren darf. Doch wie sieht es beispielsweise aus, wenn ein Fahrgast sich mit halber Lichtgeschwindigkeit aufs Klo begibt, in einem Zug, der ebenfalls mit halber Lichtgeschwindigkeit fährt?

Erst einmal fällt dir in Abb. 8 vielleicht auf, dass das Zuglineal nicht mehr so stark geschrumpft erscheint wie die Maßstäbe in unseren letzten Beispielen. Das liegt daran, dass wir es wegen der geringeren Geschwindigkeit auch mit einem anderen Wurzelfaktor zu tun haben. Wenn du willst, kannst du dir ja wieder einen Taschenrechner schnappen, 0,5 eintippen [x²]-Taste eingeben ergibt 0,25. Minuszeichen davor setzen und 1 dazu zählen ergibt 0,75. Daraus noch die Wurzel und du erhältst einen Wurzelfaktor von ungefähr 0,866 als Ergebnis.

Unser Männchen startet also seinen Ausflug zum Klo am Zugort x’=0 zur Zugzeit t’=0 am Schienenort x=0 zur Schienenzeit t=0. Das Klo, welches am Zugort x’=2 sich befindet, erreicht es nach 4 Zugsekunden (t’=4), was du unschwer in Abb. 9 erkennen kannst.  (siehe auch Animation)

Auf der Schiene dagegen wird die Ankunft beim Klo bei x=4,62 zur Zeit t=5,77 registriert und das macht umgerechnet 80-prozentige Lichtgeschwindigkeit. Sowohl halbe Lichtgeschwindigkeit beim Zug als auch beim Fahrgast darf man also keineswegs durch einfache Addition ermitteln. Doch, so fragen wir uns, ist es möglich, mit Hilfe der Mathematik für dieses Problem eine allgemeine Regel zu finden…

Ein Zug fahre mit der Geschwindigkeit w und ein Fahrgast gehe darin mit der Geschwindigkeit u aufs Klo.
Der „Fahrgast“ startet also bei x = t = x’ = t’ = 0. Er ereicht das „Klo“ bei x’ zur Zeit t’.  x’/t’ sei also die Geschwindigkeit u des Fahrgastes im Zug. x/t ist dann die Gesamtgeschwindigkeit v, wobei sich x aus Formel II und t aus Formel IV errechnet

          x              x’ + w * t’                        x’  / t’ + w                             u + w
v =   ---  =    ----------------------   =       ---------------------------    =       --------------------   
          t          t’ + x’ *  w  /  c²              1 +  (x’/t’) * w / c²                 1 + u * w  / c²     

Also noch einmal:

               u +w            
v = ----------------------                       relativistische Geschwindigkeitsaddition   
       1 + (u/c) * (w /c)                       („Zugtoilettenfunktion“)


…und voila, schon haben wir Eine! Die fettgedruckte Formel besagt in etwa: 0,5+0,5 macht 1,0 im Nenner des Bruches: Im Zähler errechnet sich 1,0 + 0,5 * 0,5 = 1,25.

Nenner geteilt durch Zähler macht 0,8 oder: halbe Lichtgeschwindigkeit + halbe Lichtgeschwindigkeit = 80-prozentige Lichtgeschwindigkeit. Bei kleinen Alltagsgeschwindigkeiten ist der Nenner übrigens kaum von 1 unterscheidbar, so dass im Zähler nur der Ausdruck u + w übrig bleibt. Ganz alltägliche Schneckentempi kann man daher getrost so addieren, wie man es bisher gewohnt war.

Und jetzt ermitteln wir mit Hilfe der „Zugtoilettenfunktion“, was denn passiert, wenn man einem Körper zum wiederholten Male einen Stoß versetzt, welcher der halben Lichtgeschwindigkeit entspricht.

1. Impuls:     50,0 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit
2. Impuls:     80,0 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit
3. Impuls:     92,9 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit
4. Impuls:     97,6 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit
5. Impuls:     99,2 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit
6. Impuls:     99,7 Prozent  der Lichtgeschwindigkeit

Fällt dir was auf? Ja genau, wir können zur Geschwindigkeit unseres Körpers so oft die halbe Lichtgeschwindigkeit hinzu addieren wie wir wollen, wir werden niemals die Lichtgeschwindigkeit selbst erreichen. Etwas krasser formuliert, könnte man auch sagen:

Die „Zugtoilettenfunktion“ verhindert ein Überschreiten der Lichtgeschwindigkeit.

Das Unterstrichene müssen wir erst mal mathematisch beweisen.

Wir verpassen der „Zugtoilettenfunktion“ eine andere Form:

              u/c +w/c            
v = ----------------------   *c              
         1 + ( u/c) * (v /c)

Sowohl (u/c) als auch (w/c) sind zunächst mal kleiner als 1. Nehmen wir mal an, es gelte
u/c + a = 1    und   w/c + b = 1   →    u/c = 1–a    und  w/c = 1 – b
Dann können wir schreiben:           

             1-a + 1 - b                          2-a-b
v = ----------------------   * c       = ---------------  *c
      1 + (1-a) * (1 –b)                     2-a-b+a*b

Da nun der Nenner  bei einer derartigen Addition immer größer als der Zähler ist, führt eine relativistische Geschwindigkeitsaddition zweier Geschwindigkeiten, geringer als der der Lichtgeschwindigkeit immer zu einer Geschwindigkeit, welche auch kleiner als die der Lichtgeschwindigkeit ist.

Egal wie lange wir beschleunigen, die Lichtgeschwindigkeit wird eine unerreichbare Barriere darstellen. Könnte es wohl sein, dass ein Körper, je näher er an diese magische Grenze herangeführt wird, seine Masse derart anwächst, dass eine zusätzliche Beschleunigung immer schwieriger wird?

Und genau hier an dieser Stelle ist die Zeit reif, vom Thema abzuschweifen und so kurz und schmerzlos wie möglich auf ein paar physikalische Grundbegriffe einzugehen, wie beispielsweise der Masse.

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********************Wir verlassen den Faden.************************

Physikalische Grundlagen

 

                                            Was ist Masse?

               

Ein Objekt hat übrigens auch dann noch dieselbe Masse, wenn es sich im schwerelosen Raum befindet, der Versuch mit der Balkenwaage also gar nicht mehr funktioniert! Wir experimentieren also in Gedanken mit schwerelosen Dingen,  welche zwar kein Gewicht, wohl aber eine Masse besitzen.

                         Was ist Beschleunigung?

Wenn wir einen Tacho fallen lassen, wird er, wie ein anfahrendes Auto, immer schneller. Das erkennen wir daran, dass sich seine Nadel bewegt und zwar auf der Erde in jeder Sekunde um 10 Meter pro Sekunde und auf dem Mond in jeder Sekunde etwa um 1,6 Meter pro Sekunde. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Tachonadel bewegt, bezeichnen wir als Beschleunigung: Und anstatt (m/s)   /s definiert man üblicherweise:
Die Einheit für die Beschleunigung lautet: m/s²

                                       Was ist Gewicht?

Wir ermitteln nun das Gewicht unseres 100-kg-Männchens, indem wir es an einer Feder aufhängen. Dabei dehnt sich diese Feder auf der Erde sechsmal so stark, wie auf dem Mond, eben weil die Erdbeschleunigung auch sechsmal so groß ist, wie die des Mondes. Was liegt also näher, als zu definieren:
Gewicht = Masse * Beschleunigung und als Einheit haben wir
                    kg    *  m/s²
Die Einheit für das Gewicht lautet dann: kg*m/s² oder auch Newton.

 

                                   Was ist Arbeit beziehungsweise Energie? 

„Da war ich doch neulich bei so einem Umzug dabei, das war vielleicht ein schönes Stück Arbeit!“ magst du vielleicht jetzt denken und du wirst lachen! Damit hast du den Nagel schon fast auf den Kopf getroffen. Denn je mehr Masse wir in obere Stockwerke befördern müssen, desto mehr Arbeit müssen wir leisten. Zusätzlich haben wir auch noch mit der Beschleunigung zu kämpfen, denn sie ist es ja erst, welche der Masse ihr Gewicht verleiht. Auf dem Mond hätten wir es da schon wesentlich leichter. Ja und last not least, spielt auch noch die Anzahl der Stockwerke, beziehungsweise der Höhenunterschied eine Rolle, welchen wir zu bewältigen haben. Was liegt also näher, als die letzten drei unterstrichenen Begriffe miteinander zu multiplizieren und zu definieren:

Arbeit (Energie)= Masse*Beschleunigung*Höhe
                                 kg  *      m/s²              *  m

Da wir anstatt     kg  *      m/s²  auch Newton sagen können, wir also bei einem Umzug umso mehr Arbeit haben, je mehr Newtons (Gewichtseinheiten) wir um eine gewisse Anzahl von Metern (Längeneinheiten) hochheben müssen, kann man als Einheit für Arbeit(Energie) auch Newtonmeter verwenden. Wollen wir allerdings nur die Basiseinheiten benutzen, so können wir definieren:

Die Einheit für Arbeit(Energie) lauten kg*m²/s² oder auch Newtonmeter oder Joule.

Es gilt übrigens auch: 1 Kilokalorie = 4190 Joule.
Kalorien solltest du allerdings nicht verwenden, denn um E=mc² zu verstehen, brauchen wir kompatible Einheiten und genau deswegen verwenden wir nur aus Kilogramm, Meter und Sekunde zusammengesetzte Einheiten (Basiseinheiten).

                                     Was ist Leistung?



Obiges Auto hat bei 50m/s (180km/h) einen Luft und Rollwiderstand von 2000 Newton. Es schafft also eine Arbeit von 100 000 Newtonmeter (Joule) in der Sekunde. Ich hoffe man sieht hier, dass sich Arbeit(Energie) auch als Kraft * Weg definieren lässt, dieser Ausdruck aber auch symbolisch als Gewicht * Höhe (wie beim Umzug) darstellbar ist.

Es gilt Leistung = Arbeit pro Zeit und deren Einheit ist kg*m²/s³ oder auch Watt.

Unser Auto leistet also 100 000 Watt (100 000 Joule pro Sekunde), oder auch 100 Kilowatt, beziehungsweise 136 PS. Letztere Einheit werden wir allerdings hier nicht verwenden, da sie nicht aus den Basiseinheiten Kilogramm, Meter und Sekunde zusammengesetzt ist und so deswegen nur Verwirrung stiften würde.

                                     Was ist kinetische Energie?

 Beim Umzug könnten wir theoretisch auch so vorgehen: Wir stellen unten ein Katapult auf. Damit schießen wir unsere Gegenstände mit einer genau dosierten Geschwindigkeit nur so weit nach oben, dass sich ein Helfer bequem zum Fensterbrett heraus lehnen und sie auffangen kann. Die Arbeit, welche man mit Hilfe einer Geschwindigkeit verrichten kann, hängt im übrigen überhaupt nicht von der Schwerkraft ab.

 

Du siehst, unser Modellmännchen wiegt auf der Erde 1000 Newton, hat eine Absprunggeschwindigkeit von 4 m/s und kommt damit 0,8 Meter hoch. Und 1000 Newton*0,8Meter macht 800 Joule.

Auf dem Mond nun ist es sechsmal so leicht, das Männchen springt allerdings auch sechsmal so hoch und ein sechsmal leichteres Gewicht multipliziert mit sechsfacher Höhe ergibt dasselbe Ergebnis, nämlich 800 Joule.

Diese Arbeit, welche nicht von der Schwerkraft abhängt, sondern nur von der Masse und seiner Geschwindigkeit nennt man auch kinetische Energie.

Beschleunigung * Steigzeit = Anfangsgeschwindigkeit
            g            *        t       =        v         →                                          (1)
            t  =                 v                   /            g                                       (2)
Steighöhe = Durchschnittsgeschwindigkeit * Steigzeit
             h  =                 (v/2)                       *      t                                  (3)
wir setzen (2) in (3) ein, indem wir t eliminieren  und erhalten:
             h = v² / (2*g)          →            h * g =v²/2
wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit m, wobei wir den Ausdruck m*h*g durch die kinetische Energie Ekin ersetzen können und so gilt:
 Ekin = m * v² /2

Die letzte Formel besagt nun Folgendes: Wenn wir einer Masse eine Geschwindigkeit geben, brauchen wir nicht mehr ausrechnen, wie hoch sie dadurch auf irgendeinem x-beliebigen Himmelskörper geschleudert wird. Nein, um das obige Beispiel noch mal herzunehmen, wir brauchen die 4m/s nur mit sich selbst zu multiplizieren und die resultierenden 16m²/s² halbieren und erhalten 8m²/s². Wiederum multipliziert mit den 100kg unseres Männchens ergibt das 800kg*m²/s² (Joule). Diese Formel sagt aber auch aus:

Verdoppelt sich die Geschwindigkeit eines Körpers, dann vervierfacht sich seine kinetische Energie; verdreifacht sich die Geschwindigkeit eines Körpers, dann wird seine kinetische Energie neunmal so groß.

Den letzten Satz habe ich nun deswegen doppelt unterstrichen, weil weiter unten im Text noch einmal so ein ähnlicher Satz auftauchen wird. Und zwischen beiden Sätzen existiert ein wichtiger Zusammenhang. Doch davon erzähle ich später mehr.

 

            Was besagt das Impulserhaltungsgesetz für unelastische Stöße?

Da denken wir uns zwei identische (gebrauchte) Kaugummis. Der eine steht still, während der andere mit 80 km/h auf den ruhenden Kaugummi geschossen wird.

Das Impulserhaltungsgesetz für unelastische Stöße besagt, unter anderem auch Folgendes: Prallt eine Masse m1 mit der Geschwindigkeit v auf eine ruhende Masse m2, so bewegen alle beide sich zusammen mit der Geschwindigkeit u weiter, wobei gilt:
m1 * v = (m1 + m2) * u.

Ferner verlangt das Impulserhaltungsgesetz:

Kommen aus Sicht eines mittigen Beobachters zwei Massen mit jeweils der gleichen Geschwindigkeit aufeinander zu und haben nach dem Zusammenstoß in Höhe des mittigen Beobachters die Geschwindigkeit 0, so müssen nach dem Impulserhaltungsgesetz beide Massen gleich sein.

Um dir den letzten Satz besser vorstellen zu können, brauchst du eigentlich nur deine Fäuste in die Höhe zu halten und sie vor deiner Nase zusammenführen. Alles klar?

Oder, du fährst gemütlich auf der Autobahn mit 40 km/h auf der rechten Fahrspur dahin. Vor dir siehst du, wie ein stehender Kaugummi die Überholspur blockiert. Hinter dir setzt ein anderer Kaugummi mit 80 km/h zum Überholen an. Du wendest deinen Blick im richtigen Moment nach links und siehst, wie der eine Kaugummi mit 80 km/h auf den stehenden Kaugummi aufprallt. Danach bewegen sich sowohl du, also der mittige Beobachter, als auch die beiden vereinten Kaugummis zusammen mit 40 km/h weiter. Man könnte auch sagen:

Aus der Tatsache, dass der linke Kaugummi nach dem Stoß auf die Hälfte seiner Ausgangsgeschwindigkeit abgebremst wird, kann man auch schließen, dass beide Kaugummis die gleiche Masse besitzen. Würde er nicht so stark abgebremst werden, so ließe sich nach dem Impulserhaltungsgesetz auf dessen größere Masse schließen, wie etwa bei einem Auto, dessen Geschwindigkeit sich ja auch nicht spürbar verringert, wenn es mit einer Mücke zusammenstößt.

Zu erwähnen sei nebenbei noch, dass bei solch einem unelastischen Stoß zwei Arten von Bewegung übertragen werden, nämlich einer ordentlich kinetischen und einer chaotisch thermischen Bewegung.

Bei der Ersteren ist es ja so, dass der eine Kaugummi den Anderen mit sich reißt, so dass danach alle beim Stoß beteiligten Moleküle sich ordentlich gemeinsam in ein und dieselbe Richtung weiter bewegen.

Bei der Zweiten geraten die Kaugummimoleküle gewissermaßen in Wallung, wobei nach dem Stoß alle Moleküle noch ein wenig wilder als vorher hin und her hüpfen, ein jedes von ihnen sozusagen macht, was es will. Mit anderen Worten, der Stoß erzeugt auch unordentlich chaotische Wärmebewegung.

 So, und vor allem der längere unterstrichene Satz wird im nächsten Gedankenexperiment eine zentrale Rolle spielen. Wir können nun auch unseren kleinen Ausflug zu den Grundlagen der Physik abschließen und

*************den ursprünglichen Faden wieder aufnehmen.**************

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                                                          E=mc²

 

Kannst du dich noch erinnern, was wir vor unserem Ausflug zu den für unser Thema wichtigen Grundlagen der Physik getan haben. Zur Klärung der konstanten Lichtgeschwindigkeit deckten wir also eine „Uhrenverschwörung“ auf. Als Nebenwirkung dieses seltsamen Uhrentreibens leiteten wir die „Zugtoilettenfunktion“ ab. Eine Folge der „Zugtoilettenfunktion“ ist nun die, dass es immer schwieriger wird, einen Körper zu beschleunigen, je näher man ihn an die Lichtgeschwindigkeit heran führt, ja dass es dann letztendlich unmöglich ist, diese magische Grenze jemals zu erreichen. Dies lies uns vermuten, dass eventuell ein Massenzuwachs schuld daran sein könnte. Und um das genauer zu untersuchen, wollen wir das letzte Gedankenexperiment (Abb. 8 und Abb. 9) noch einmal wiederholen, allerdings mit dem Unterschied, dass bei der Gleismarkierung 4,62 ein Zwillingsbruder unseres Männchens wartet. Die Beiden haben nämlich verabredet, sich genau beim Klo zu treffen, um anschließend dort gemeinsam zu verharren. Dazu sind sie nämlich ganz gut in der Lage, weil Beide sich einerseits wie die perfekten Kaugummis verhalten, andererseits jedoch so robust gebaut sind, dass sie auch locker einen Zusammenstoß bei höheren Geschwindigkeiten verkraften können.

Das Klo spielt im nächsten Gedankenexperiment die Rolle eines mittigen Beobachters, da aus dessen Sicht sich beide Brüder jeweils aus entgegengesetzter Richtung mit halber Lichtgeschwindigkeit annähern(Abb.16).

In Abb.17 kannst du nun erkennen, dass beide Brüder glücklich vereint beim Klo sich befinden und im Zug mit halber Lichtgeschwindigkeit weiter fahren. Aus Sicht der Schiene sieht das Ganze jedoch so aus, dass der linke Bruder von 80- auf 50 prozentige Lichtgeschwindigkeit abgebremst wurde.

 

siehe Animation

Und das könnte einen Konflikt mit dem Impulserhaltungsgesetz nach sich ziehen, denn aus Sicht des Klo müssen zwar beide Brüder die gleiche Masse haben, weil sie ja jeweils mit halber Lichtgeschwindigkeit daher kommen und genau beim Klo zum Stehen kommen (Fäuste vor Nase zusammenführen).

Und wenn wir jetzt naiverweise auch noch annehmen, dass aus Sicht des rechten Bruders dasselbe gilt, dann befunden wir uns ein wenig auf dem Holzweg, denn...

Gestehen wir doch mal unseren Brüdern, wie es bei Zwillingen ja durchaus üblich ist, ein und dieselbe Masse zu, meinetwegen 1 kg. Dann würde vor dem Stoß der linke Bruder folgenden Impuls in die Vereinigung einbringen, nämlich 80 Prozent mal 1 kg macht 80 Prozentkilogramm. Der ruhende rechte Bruder bringt keinen Impuls mit sich, also 0 Prozentkilogramm.

Nach dem Stoß hätten dann beide Brüder 50 Prozent mal 2kg macht 100 Prozentkilogramm.

Und das ist völliger Quatsch! Es kann einfach nicht sein, dass nach dem Stoß ein anderer Gesamtimpuls existiert, als vor dem Stoß. Was muss also passieren, damit nicht irgendwelche dahergelaufene Kaugummis unser schönes Impulserhaltungsgesetz ruinieren können?

Nun, ganz einfach, wir verpassen unserem linken Bruder eine Zusatzmasse von 666 g. Wenn wir dann nämlich vor dem Stoß seine Gesamtmasse von 1,666 kg mit 80 Prozent multiplizieren, so kommen wir zu einem Impuls von 133 Prozentkilogramm.

Nach dem Stoß multiplizieren wir die Gesamtmasse (1,666 +1) unserer vereinten Brüder, also 2,666 kg mit 50 Prozent und wir kommen so ebenfalls auf  133 Prozentkilogramm als Impuls.

Ja so ist es eben. „Zugtoilettenfunktion“ und Impulserhaltungsgesetz lassen einfach keinen anderen Schluss zu als den, dass die Masse eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit anwächst.Wie sich nun dieser Zusammenhang mit Hilfe einer Formel ermitteln lässt, soll in der nächsten Ableitung gezeigt werden.

Wenn man nun annimmt, dass das linke Knetmännchen im Zug mit der Geschwindigkeit u auf’s Klo geht und der Zug sich ebenfalls gegenüber der Schiene mit u bewegt, so errechnet sich mit Hilfe der „Zugtoilettenfunktion“ für die resultierende Geschwindigkeit v Folgendes:

               u+u                                      2 * u                                  2 * u/c 
v = --------------------     →       v =   -----------     →        v/c   =   --------------
       1 + (u/c)*(u/c)                           1 + (u/c)²                           1 + (u/c)²                           

Da das Klo einen mittigen Beobachter darstellt, folgt daraus, dass beide Männchen sich nun zusammen mit dem Klo mit der Geschwindigkeit u weiter bewegen. Nun sei mv die Masse des linken Männchens bei der Geschwindigkeit v und m0 die Masse des ruhenden Männchens.
Das Impulserhaltungsgesetz fordert nun:

mv * v  = (mv + m0)  * u
mv * v  = mv *u +  m0  * u
mv * v - mv *u  =   m0  * u
mv * (v –u)  =   m0  * u
mv * (v –u)/u  =   m0
mv * (v/u –1)  =   m0              ***

Und nun formen wir unsere Zugtoilettenfunktion so um, dass links der Ausdruck (v/u – 1) stehen bleibt.

                    2                                   2             1 + (u/c)²                             1 – (u/c)²
      v/u = -----------    → v/u -1 = ----------    -  ------------    →  v/u – 1 =    --------------  ***  
                1+(u/c)²                    1 + (u/c)²      1 + (u/c)²                             1 + (u/c)²

Da uns dies nicht wirklich weiter gebracht hat, formen wir die Zugtoilettenfunktion nochmals um, doch diesmal so, dass links der Wurzelfaktor stehen bleibt.

                          4*( u/c)²
(v/c)²   =   -----------------------------    ↔
                 1 + 2*(u/c)² + (u/c)^4

 

                   1 + 2*(u/c)² + (u/c)^4                         4*( u/c)²                        1 - 2*(u/c)² + (u/c)^4
1-(v/c)² =   ------------------------------    -    -------------------------------    =     -----------------------------  ↔   
                   1 + 2*(u/c)² + (u/c)^4              1 + 2*(u/c)² + (u/c)^4              1 + 2*(u/c)² + (u/c)^4

 

                     [1 - (u/c)²]²                                            1 - (u/c)²
1-(v/c)² =     -----------------      ↔       √[1-(v/c)²] =   --------------     ***   ↔
                     [1 + (u/c)²]²                                          1 + (u/c)²

Wenn wir alle drei Gleichungen, die mit  Sternchen gekennzeichnet sind (rote und blaue Farbe), verknüpfen, so erhalten wir schließlich:

mv * √[1 – (v/c)²] =   m0   und schließlich   mv = m0 / [1-(v/c)²]

Jetzt wollen wir noch etwas über die kinetische Zusatzmasse (mkin = mv – m0) erfahren, den ein Körper erfährt, welcher auf die Geschwindigkeit v beschleunigt wird.

 mkin =      m0/√ [(1-(v/c)²]    – m0   oder:

mkin  =  m0 *   {1 / [1-(v/c)²]    -1}                  und      mv = m0 / [1-(v/c)²]      
               (kinetische Zusatzmasse)                   (kinetische Gesamtmasse)                                            

 

So, da waren jetzt aber einige „mathematische Verrenkungen“ nötig, um dennoch zu einem verblüffend einfachen Ergebnis zu kommen. Wir brauchen nämlich keine komplizierten Stoßexperimente mehr durchzuführen, sondern nur die Ruhemasse eines Körpers durch den jeweiligen Wurzelfaktor zu teilen und schon hat man seine kinetische Gesamtmasse. Wie wir ja schon längst wissen, gehört zu 80-prozentiger Lichtgeschwindigkeit der Wurzelfaktor 0,6. Unser linkes Männchen mit der Ruhemasse 1 kg hat also dann eine kinetische Gesamtmasse von 1 kg / 0,6 = 1,666 kg. Und dies ist dasselbige Ergebnis, das wir oben schon durch unseren Stoßversuch erhalten haben.

Der Vollständigkeit halber wollen wir diese Erkenntnis noch bei halber Lichtgeschwindigkeit (Wurzelfaktor 0,866) testen. Dazu versetzen wir uns erst einmal in die Perspektive des Klo’s. Von beiden Seiten kommen also die Brüder mit halber Lichtgeschwindigkeit angeschossen. Deren kinetische Gesamtmassen errechnen sich dann zu 2kg / 0,866 = 2,309 kg. An dieser Stelle wollen wir uns fragen: Haben die beiden Brüder wieder ihre ursprüngliche Ruhemasse, wenn sie beim Klo zum Stehen kommen? Können 309 Gramm einfach so verschwinden? Nein, das ist selbstverständlich nicht der Fall, denn es wird ja eine andere Art von Bewegung beim Zusammenprall übertragen, nämlich der einer chaotischen Molekülbewegung, also 309 Gramm Wärme.

Und von der Schiene aus betrachtet errechnet sich die kinetische Gesamtmasse unserer „warmen Brüder“ folgendermaßen: 2,309kg / 0,866= 2,666 kg. Und darin sind nun auf wunderbare Weise die 666 Gramm Zusatzmasse enthalten, welche unser stoßender Bruder mit sich bringt! Hiermit hat also unsere neue Formel diesen kleinen Test bestanden.

Teile also die Masse der kalten Brüder durch den Wurzelfaktor √[1-(u/c)²] und du erhältst deren warme Gesamtmasse. Teile die warme Gesamtmasse noch mal durch den Wurzelfaktor√[1-(u/c)²] und dann hast du die kinetische Gesamtmasse. Die 2 davon abgezogen und du hast dieselbe Zusatzmasse, wie beim zunächst kalten Bruder, also mathematisch kurz und knapp:

        2                                 1
 -----------     -2     =     -------------    -1
 1  - (u/c)²                   √[1-(v/c)²]

Um diese Aussage zu beweisen, picken wir uns aus der vorherigen Ableitung den letzten farbig markierten Ausdruck heraus, stürzen die Brüche auf beiden Seiten und erhalten:

1 + (u/c)²                  1                      1 + (u/c)²           1 - (u/c)²                   1 
------------    =   --------------      ↔   -------------      +     -----------     =    --------------     +   1   ↔         
1  - (u/c)²           √[1-(v/c)²]              1  - (u/c)²           1 - (u/c)²             √[1-(v/c)²]

 

      2                      1                                        2                                 1
-----------    =  -------------      +   1     ↔       -----------     -2     =     -------------    -1
1  - (u/c)²        √[1-(v/c)²]                         1  - (u/c)²                    √[1-(v/c)²]

 

Jetzt wollen wir mal erforschen, wie hoch der kinetische Massenzuwachs bei Alltagsgeschwindigkeiten ausfällt. Dazu stellen wir uns einen Meteoriten vor, der eine Masse von Tausend Tonnen haben soll. Tausend Tonnen sind übrigens eine Million Kilogramm, beziehungsweise eine Milliarde Gramm. Und der soll mit 30 km/s unterwegs sein.

Er könnte also Deutschland von Nord nach Süd in etwa einer halben Minute überqueren. Das hört sich im ersten Moment zwar recht flott an, aber wenn man andererseits bedenkt, wie lange der braucht, nur um über unseren Billardtisch zu kriechen, nämlich ganze zweieinhalb Stunden, dann bleibt uns nichts anderes übrig, als dessen Geschwindigkeit zum Schneckentempo zu erklären. Und für Schneckentempi gibt es eine ganz einfache Methode, um dessen kinetische Zusatzmasse zu berechnen.

Doch vorher führen wir die dazu nötige Berechnung noch einmal mit der althergebrachten, komplizierteren Methode durch. Denn wenn wir dies tun, wissen wir die einfachere Methode um so mehr zu schätzen.

Wir haben es also mit einem Zehntausendstel der Lichtgeschwindigkeit zu tun und dafür geben wie 0,0001 in den Taschenrechner ein. Diesen Wert quadrieren wir und erhalten so 0,00000001. Wir setzen wieder ein Minus davor und zählen 1 dazu.  Jetzt müsste 0,99999999 im Display erscheinen. Daraus die Wurzel und wir erhalten 0,999999995. Dann kommt noch der Kehrwert und das wäre dann 1,000000005. Zu guter Letzt multiplizieren wir diesen mit der Masse unseres Meteoriten, also einer Milliarde Gramm und als Endergebnis erhalten wir 1 000 000 005 Gramm.

Unser Meteorit hat also 5 Gramm kinetischer Zusatzmasse erhalten. Und das scheint im ersten Moment nicht allzu viel zu sein für so ein großes Objekt. Doch bevor wir uns über dieses Ergebnis Gedanken machen, wollen wir noch nach einer einfacheren Methode zur Ermittlung von Zusatzmassen bei „Schneckentempi“ suchen.

     
Wir verpassen der letzten Formel für die kinetische Zusatzmasse eine andere Form:

                          ( 1 -  √(1-v²/c²)    )                  1 +  √(1-v²/c²)
mkin  =  m0 *     (------------------     )      *         ---------------------
                          (    √(1-v²/c²)        )                  1 +  √(1-v²/c²)

 

                                        v²/c²
mkin  =  m0 *     --------------------------------
                               √(1-v²/c²) + (1-v²/c²)

Ich denke, man sieht beim letzten Ausdruck deutlich, dass bei Schneckentempi (v<<c)
der Nenner gegen 2 tendiert. Damit können wir nun schreiben.

Bei Schneckentempi (v<<c) gilt näherungsweise:
mkin ~ m0 * (v/c)² /2

So und jetzt führen wir obige Berechnung noch einmal mit der neuen Methode durch. Dazu brauchen wir eigentlich gar keinen Taschenrechner mehr. Wir nehmen ein Zehntausendstel der Lichtgeschwindigkeit und multiplizieren es mit sich selbst. Als Ergebnis bekommen wir ein Hundertmillionstel. Davon die Hälfte macht ein Zweihundertmillionstel. Und ein Zweihundertmillionstel von einer Milliarde Gramm macht schließlich ebenfalls 5 Gramm Zusatzmasse.

5 Gramm kinetischer Zusatzmasse, ist das überhaupt der Rede wert für einen Meteoriten, welcher etwa die tausendfache Masse eines normalen Autos mit sich bringt? Doch bedenke was denn wäre, hätte er diese Zusatzmasse nicht, sondern würde als harmloser Felsbrocken friedlich in der Landschaft ruhen! Besteht etwa gar ein Zusammenhang zwischen seiner winzigen Zusatzmasse und seinem gewaltigen Zerstörungspotential? Ermitteln wir doch mal zur Probe seine kinetische Energie (siehe nochmals Grundlagen der Physik)

0,5 * 1 000 000 kg * 30 000m/s * 30 000m/s       = 450 000 000 000 000 kg*m²/s² (Joule)

Leider haben wir da eine schrecklich lange Zahl berechnet unter der wir uns kaum etwas vorstellen können. Ja man kann sagen: Vor lauter Nullen sieht man hier das Ergebnis nicht!

Deshalb führen wir jetzt wieder eine neue Einheit ein. Aus deiner Stromabrechnung kennst du doch sicherlich den Begriff Kilowattstunde(kWh). Diese Einheit wird dir beispielsweise dann berechnet, wenn du eine elektrische Herdplatte (1 kW) eine Stunde lang betreibst. Auf ähnliche Weise wollen wir nun die Einheit Kilowattjahr(kWy) definieren. Das wäre dann die Energie, welche unsere Herdplatte nach einem Jahr Dauerbetrieb umgesetzt hätte.

Das macht dann1000 Joule pro Sekunde, wobei das Jahr 31 553280 Sekunden hat. Unsere Kochplatte verbraucht dann innerhalb eines Jahres 31 553 280 000 Joule. Nun teilen wir unsere fürchterlich lange Zahl durch den letztgenannten Wert und gelangen so zur der Erkenntnis, dass man aus unserem  Meteoriten 14 260 Kilowattjahre an Energie gewinnen und ins öffentliche Stromnetz einspeisen könnte, wenn dies nur so einfach wäre. Doch leider sieht es in der Realität so aus, dass solch ein Himmelskörper diesen Energiebetrag auf einen Schlag abgibt und somit gewaltige Zerstörungen nach sich zieht.
Unser Ergebnis tragen wir nun in die folgende Tabelle ein. Zugleich verdoppeln und verdreifachen wir noch die Geschwindigkeit unseres Meteoriten und dann schaun’mer mal, ob wir daraus irgendwie schlau werden.

 

Geschwind
igkeit    in
    km/s        

kine-
tische
Zusatz-
masse in Gramm

      kinetische Energie
                 in     
             kg*m²/s²
               (Joule) 

kinetische  Energie in Kilowattjahren
(kWy)

        30

  5 

   450 000 000 000 000

  14 260

        60

20   

1 800 000 000 000 000

  57 040

        90

45   

4 050 000 000 000 000

128 340

                                |      Gibt  es  da  einen  Zusammenhang?         |

 

Genau, wenn wir die winzigen Zusatzmassen in Spalte 2 mit den gewaltigen kinetischen Energien in den beiden rechten Spalten vergleichen, so können wir daraus einen Satz ableiten, der durchaus ähnlich klingt wie der, den ich schon mal bei der Behandlung der kinetischen Energie(siehe Grundlagen der Physik) aufgeführt habe, nämlich:

Bei „Schneckentempi“ gilt:
Verdoppelt sich die Geschwindigkeit eines Körpers, dann vervierfacht sich sowohl seine kinetische Zusatzmasse, als auch seine kinetische Energie; verdreifacht sich die Geschwindigkeit eines Körpers, dann wird sowohl seine kinetische Zusatzmasse, als auch seine kinetische Energie neunmal so groß.

Nun könnten wir folgenden Zusammenhang ableiten: Wenn wir nämlich die Werte der 2.Spalte mit 2852 multiplizieren, so erhalten wir die Werte der 4. Spalte. Diese letztgenannte Zahl, den wir als Proportionalitätsfaktor bezeichnen hat allerdings einen gravierenden Nachteil. Er ist ein unnatürlicher Zahlenwert.

Damit meine ich Folgendes: Stell dir vor, es gäbe außer uns Menschen noch andere intelligente Wesen in den unendlichen Weiten des Weltalls. Und auch die würden sich mit dem Zusammenhang zwischen kinetischer Zusatzmasse und kinetischer Energie beschäftigen. Würden die denn dann nicht einen ganz anderen Proportionalitätsfaktor ermitteln wie wir, aus dem einfachen Grunde, weil sie mit Sicherheit ganz andere Maßeinheiten wie wir verwendeten?

Die verblüffende Antwort lautet: Nein, nicht unbedingt! Wir sind nämlich bei der Einführung des Kilowattjahres einen faulen Kompromiss eingegangen. Denn einerseits haben wir in der 4. Spalte zwar halbwegs „alltagstaugliche“ Zahlenwerte eintragen können. Dafür mussten wir aber bei der Definition der Einheit „Kilowattjahr“ zwei unterschiedliche Zeiteinheiten miteinander vermischen, nämlich die Sekunde (welche ja schon im Kilowatt drin steckt) und das Jahr. Und ich habe schon im Abschnitt „Grundlagen der Physik“ erwähnt, dass es von Vorteil wäre, wenn wir nur drei Einheiten verwendeten, zum Beispiel für
Masse: kg  (Kilogramm)
Länge: m    (Meter)
Zeit   :  s     (Sekunde)
und alle anderen Einheiten aus diesen drei Grundeinheiten zusammensetzten. Genau dies werden wir in der nächsten Tabelle praktizieren.

 

kine-
tische
Zusatz-
masse in Kilogramm

  
    c² = Quadrat der Lichtgeschwindigkeit =

Lichtgeschwindigkeit * Lichtgeschwindigkeit =

       300 000 000 m/s * 300 000 000 m/s

         c² = 90 000 000 000 000 000 m²/s²

      kinetische Energie
                 in     
             kg*m²/s²
               (Joule) 

  0,005 

   450 000 000 000 000

  0,020   

1 800 000 000 000 000

  0,045   

4 050 000 000 000 000

     mkin                    *                      c²                               =                                   Ekin

 

Nun haben wir zwar links unsere wenigen Gramm Zusatzmasse in Kilogramm verwandelt und rechts die (für unsere Alltagsbegriffe) kleine Einheit Joule verwendet, womit wir wieder eine Unmenge von Nullen bekommen. Und in der Mitte gar schaut es noch viel schlimmer aus. Denn die Lichtgeschwindigkeit allein hat ja wohl schon genug Nullen (sofern man sie rundet), wenn man sie in Metern pro Sekunde angibt. Multipliziert man sie gar mit sich selbst, na ja du siehst es ja selber...  Aber dafür haben wir jetzt endlich einen natürlichen Proportionalitätsfaktor gefunden, den auch außerirdische Wissenschaftler unabhängig von uns erhalten, wenn sie nur konsequent drei Einheiten verwenden, nämlich je eine für Masse, Länge und Zeit. Und dieser natürliche Proportionalitätsfaktor heißt „Quadrat der Lichtgeschwindigkeit“ , kurz c²

Für die kinetische Energie bei Schneckentempi gilt ja:
Ekin = m0 * 0,5 * v²   und  kinetische Zusatzmasse mkin= m0 * 0,5 * v²/c²  →
Ekin /mkin =c²           →            Ekin = mkin * c²

So, und um noch mal der langen Rede einen kurzen Sinn zu geben, 
Ekin = mkin * c²  heißt: Nimm die kinetische Zusatzmasse eines Körpers und multipliziere sie mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, dann erhältst seine kinetische Energie.

Wenn du nun eine ungefähre Vorstellung davon haben willst, wie sich die kinetische Zusatzmasse bei zunehmender Geschwindigkeit entwickelt, dann sieh dir doch bitte mal die durchgezogene Linie in der nächsten Grafik an, welche am Anfang fast mit der gestrichelten Linie identisch ist.

Abb.18

Da wird also ein Gramm beschleunigt, was sich allerdings zunächst kaum auf die Gesamtmasse des Objektes auswirkt, wie du durch einen Blick auf den linken Bildrand unschwer erkennen kannst. Jedoch spätestens ab der halben Lichtgeschwindigkeit beginnt die die durchgezogene Kurve damit, ziemlich steil anzusteigen. Die Masse wächst also gewaltig an, je weiter wir uns der Lichtgeschwindigkeit nähern. Diese magische Grenze wird aber niemals erreicht, weil unter anderem auch ein gewaltiger Massenzuwachs dafür sorgt, dass eine weitere Beschleunigung immer schwieriger wird.

Und bei 98,6 prozentiger Lichtgeschwindigkeit hat unser Gramm dann schon sechs Gramm Masse. Oder anders formuliert. Ein Gegenstand mit der Ruhemasse ein Gramm hat eine kinetische Zusatzmasse von 5 Gramm bekommen. Und das ist genauso viel, wie unser 1000-Tonnen-Meteorit in unserem obigen Beispiel. Ist dir eigentlich klar, was dies bedeutet. Ja genau, 5 Gramm kinetischer Zusatzmasse mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert, ergeben 450 000 000 000 000 Joule. Das heißt aber auch, dass wenn so ein lumpiges Gramm mit 98,6-prozentiger Lichtgeschwindigkeit auf die Erde zuraste, es genau so viel Verwüstung anrichten würde, wie unser 1000-Tonnen-Meteorit, welcher mit 30km/s so vor sich hin schleicht. Beide Massen, so unterschiedlich sie auch sein mögen, hätten also die gleiche Wirkung wie eine Atombombe!

Energie muss allerdings nicht immer in Gestalt von kinetischer Zusatzmasse existieren. Wenn man nämlich das Kürzel „kin“ weglässt, so heißt unsere Formel schlicht und einfach nur E=mc².

Und diese Formel hat eine geradezu dramatische Bedeutung. Im Jahre 1938 gelang ja Otto Hahn in Deutschland die erste Kernspaltung der Welt. Allerdings konnte er sich noch keinen rechten Reim auf das machen, was er da „angerichtet“ hatte. Er war eben ein guter Chemiker aber mit der Physik kannte er sich wohl nicht so gut aus. Deswegen schrieb er erst einmal einen Brief an seine ehemalige langjährige Mitarbeiterin Lise Meitner(1878-1968), die sich allerdings zu der Zeit wegen ihrer jüdischen Abstammung im schwedischen Exil aufhielt.

Dieses aus dem Jahre 1928
stammende Foto zeigt die
50-jährige Lise Meitner.

 foto4

Zunächst jedoch wusste auch Frau Meitner nicht, wie sie den Ausgang von Otto Hahns Ergebnissen interpretieren sollte. Jedoch eines Tages, unternahm sie zusammen mit ihrem Neffen, der genau wie seine Tante auch ein berühmter Physiker war, einen kleinen Ausflug im winterlichen Schweden. Und während ihrer Schneewanderung fiel es beiden wie Schuppen von den Augen. Sie erkannten, dass nach einer Kernspaltung die entstehenden Bruchstücke zusammen eine um etwa ein Tausendstel geringere Masse aufwies als der ganze Kern vorher. Und da beide die Formel „E=mc²“ kannten,  ahnten sie, was es mit dieser „fehlenden“ Masse auf sich hatte!

Denn sie „fehlte“ nicht wirklich! Ganz im Gegenteil. Alles deutete darauf hin, dass der große Atomkern vor der Spaltung von so einer Art geronnener Energie nur notdürftig zusammengehalten wurde. Fügte man ihm ein langsames Neutron hinzu, so wirkte dieses offensichtlich wie der berühmte Tropfen, der das Fass zum Überlaufen bringt. Gelänge es also, nur wenige Kilogramm Uran schlagartig zu spalten, würden also ein paar Gramm in Energie verwandelte Masse sich verhalten wie riesige Heerscharen von Höllenhunden, die man von ihren atomaren Ketten befreit hat. Und was so eine auf den ersten Blick etwas unscheinbare Masse anrichten kann, wenn man sie mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert, haben wir ja weiter oben schon ausgerechnet.

Als Lise Meitner diese Erkenntnis im Februar 1939 veröffentlichte, mag dies wohl mitunter auch zur Entwicklung der Atombombe geführt haben. Einen entscheidenden Anstoß zu dessen Entwicklung hat wohl aber erst Einstein selbst gegeben, als er im August 1939 einen Brief  an den Präsidenten der USA schrieb, in dem er diesen darin unterrichtete, dass man aufgrund der jüngsten Entdeckungen eine gar fürchterliche Waffe konstruieren könnte. Einstein sah es wohl als das geringere Übel an, die Atombombe in amerikanischer Hand zu sehen, als unter Adolf Hitlers Kontrolle. Nach Hiroshima und Nagasaki hat er seine Aktion allerdings bitter bereut.

Zum Abschluss sei noch erwähnt, dass bei „normalen“ Verbrennungsvorgängen nur etwa ein Milliardstel der Masse der Reaktionsprodukte in Energie umgewandelt wird. Das heißt, mit einem Liter Benzin kann man eben beim derzeitigen Stand der Technik keine 30 000 Jahre lang Autofahren, sondern höchstens eine Viertelstunde.

Bei der Fusionierung von Wasserstoff zu Helium, dem Vorgang also, der in der Sonne abläuft, liegt der Anteil an freigesetzter Energie übrigens fast bei einem Hundertstel! Du kannst dir also vorstellen, wenn man das „Sonnenfeuer“ auf der Erde entfachen könnte, die Menschheit all ihre Energieprobleme gelöst hätte. Ob das allerdings jemals gelingen wird, steht noch in den Sternen!

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